Utilisateur:ThibautLienart/Thm Mittag Leffler
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// brouillon MLT. Sources - these, etc.
- These
- FORSYTH : 137 et +
- HENRICCI : 671 et + (lie MLT et l'expansion en fraction partielle d'une f mérom).
- KRANTZ : 286
- LANG : 403 (good proof)
- JORDAN (v2) : 343 - preuve = ?
- RUDIN - 284 + preuves liant à Runge = moderne.
- GB : Complex made simple ici
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Enoncé[modifier | modifier le code]
Soient un ouvert avec et un ensemble fini ou infini dénombrable d'éléments distincts de sans point d'accumulation dans . On associe à chaque élément un entier positif ainsi qu'une fonction rationnelle définie par :
Alors, il existe une fonction méromorphe dont la partie principale[Note 1] à chaque est et qui n'a pas d'autres pôles dans .
Démonstration[modifier | modifier le code]
Résultat préliminaire[modifier | modifier le code]
Il existe plusieurs démonstrations du théorème dont certaines reposent sur le théorème de Runge, une version plus simple est présentée ci-dessous, nous avons cependant besoin de l'énoncé suivant[1] :
Lemme de poussage de pôle — Soit et définissons
pour un certain entier . Soient et alors, il existe une série finie
pour certains entiers et telle que
où représente le disque ouvert de rayon r et centré en .
On a :
que l'on peut encore exprimer sur n'importe quel sous-ensemble compact de par la série uniformément convergente suivante :
Démonstration[modifier | modifier le code]
Si il y a seulement un nombre fini d'éléments , alors il suffit de prendre pour satisfaire à l'énoncé. Nous supposerons donc qu'il y a une infinité d'éléments .
Pour chaque k, soit un point (pas nécessairement unique) le plus proche de et posons .
Pour chaque k, on applique le lemme de poussage de pôle pour trouver un polynôme en puissance négative de tel que :
où désigne le disque fermé centré en et de rayon .
On va montrer que
est la fonction méromorphe vérifiant l'énoncé.
Pour ce faire, il suffit de vérifier la convergence uniforme sur tout sous-ensemble compact de
Comme est compact, on a que pour . Soit un disque fermé et prenons un suffisamment grand pour que implique
alors, pour et et
Le test M de Weierstrass implique alors la convergence uniforme de sur et étant donné que le disque a été choisi de manière arbitraire, la convergence uniforme est prouvée.
Notes[modifier | modifier le code]
- La partie principale désigne la partie du développement de Laurent de la fonction au voisinage d'une singularité dont les termes sont de degrés négatifs.
Références[modifier | modifier le code]
- * Robert E. GREENE, Steven G. KRANTZ, Function Theory of one Complex Variable, John Wiley & Sons, 1997, (ISBN 0-471-80468-1). p.272-273.